P-adische Zahl

Für jede Primzahl ${\displaystyle p}$ bilden die p-adischen Zahlen einen Erweiterungskörper ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ des Körpers ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ der rationalen Zahlen; sie wurden 1897 erstmals von Kurt Hensel beschrieben. Diese Körper werden benutzt, um Probleme in der Zahlentheorie zu lösen, oftmals unter Verwendung des Lokal-Global-Prinzips von Helmut Hasse, das – vereinfacht gesprochen – aussagt, dass eine Gleichung genau dann über den rationalen Zahlen gelöst werden kann, wenn sie über den reellen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {R} }$ und über allen ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ gelöst werden kann (was aber nicht so allgemein zutrifft, für die genaue Bedeutung siehe dort). Als metrischer Raum ist ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$ vollständig und erlaubt so die Entwicklung einer ${\displaystyle p}$-adischen Analysis analog zur reellen Analysis.